Un guide Super Mega Bowl
Vous avez 10 pour cent de chances de gagner un lot. Recevez-vous alors un dixième du lot ? Bien sûr que non. Soit vous gagnez le tout, soit vous repartez les mains vides. Cet écart entre les probabilités et ce qui atterrit réellement dans vos mains est l'une des idées les plus utiles des probabilités, et l'une des plus mal comprises.
La plupart des événements aléatoires sont du tout ou rien. Vous gagnez la tombola ou non. Le pari paie ou non. La pièce donne pile ou face. Il n'y a pas de victoire partielle, pas de 10 pour cent d'un lot, pas de demi-face. Chaque essai livre un résultat entier parmi un petit ensemble de possibilités.
La probabilité décrit comment ces possibilités se répartissent. Ce n'est pas une somme que vous recevez. Donc 10 pour cent de chances ne vous donnent 10 pour cent de rien du tout. Cela signifie que si la même situation se rejouait de nombreuses fois, vous gagneriez environ une fois sur dix et perdriez les neuf autres.
L'espérance est le pont entre les probabilités et les résultats. C'est le résultat moyen que vous obtiendriez par essai si vous répétiez le pari un très grand nombre de fois. On la calcule en multipliant chaque issue par sa probabilité et en additionnant les morceaux.
Supposons qu'un billet rapporte 10 euros avec une probabilité de 0,10 et rien avec une probabilité de 0,90. L'espérance vaut 0,10 fois 10 euros plus 0,90 fois 0 euro, soit 1 euro. Sur un billet donné, vous obtenez 10 euros ou rien. Vous n'obtenez jamais exactement 1 euro. Pourtant, 1 euro est la valeur honnête du billet sur la durée, et c'est exactement ce qu'il faut comparer à son prix.
Voici ce qui piège les gens. L'espérance est fréquemment un nombre qui ne peut jamais survenir sur un essai unique.
L'espérance est une moyenne de long terme, pas une prévision du prochain résultat. La prendre pour ce qui va arriver en un seul essai est l'erreur fondamentale.
Si vous n'obtenez jamais l'espérance sur un seul essai, pourquoi s'en soucier ? À cause de la loi des grands nombres. Sur de nombreux essais, la moyenne de vos résultats réels et entiers converge vers l'espérance. Un jet est imprévisible. Dix mille jets donnent une moyenne de presque exactement 3,5. L'espérance n'est pas ce qui arrive une fois. C'est ce vers quoi tend la moyenne du tas de résultats, et cette moyenne devient fiable à mesure que le tas grossit.
Les probabilités et les résultats sont deux choses différentes. Tout essai isolé est du tout ou rien, une victoire entière ou une perte entière. L'espérance est la moyenne de long terme vers laquelle ces résultats entiers se stabilisent, souvent un nombre que vous ne pourrez jamais obtenir en un seul essai. Servez-vous-en pour juger si un pari vaut la peine, et ne la confondez jamais avec ce qui arrivera la prochaine fois.