Un guide Super Mega Bowl
Lancez une pièce dix fois et vous obtiendrez peut-être sept faces. Lancez-la dix mille fois et vous arriverez tout près de la moitié. Cette dérive vers les probabilités réelles, c'est la loi des grands nombres, l'une des idées les plus importantes des probabilités, et elle explique discrètement aussi bien les profits des casinos que le fonctionnement des sondages.
La loi des grands nombres énonce qu'en répétant une expérience aléatoire indépendante de plus en plus de fois, la moyenne de vos résultats se rapproche de plus en plus de l'espérance, la moyenne de long terme autour de laquelle le processus est construit. Pour une pièce équilibrée, la part attendue de faces est 0,5. Pour un dé équilibré à six faces, le jet moyen attendu est 3,5. Un essai isolé peut tomber n'importe où, mais la moyenne courante de nombreux essais se stabilise près de cette espérance.
Le mot clé est moyenne. La loi porte sur des proportions et des moyennes, pas sur des résultats individuels. Elle ne dit pas que les résultats vont s'équilibrer sur tel ou tel lancer. Elle dit que la moyenne d'une longue série de lancers sera proche de la vraie valeur, et d'autant plus proche que la série est longue.
Supposons que vous lanciez une pièce équilibrée en suivant la part de faces après chaque lancer. Au début, cette part oscille énormément. Après quatre lancers, vous pouvez être à 75 pour cent de faces. Après vingt, à 40 pour cent. À mesure que le compte grimpe vers les centaines et les milliers, ces oscillations se réduisent et la part colle aux 50 pour cent.
| Nombre de lancers | Part typique de faces |
|---|---|
| 2 | de 0 à 100 pour cent |
| 10 | souvent 30 à 70 pour cent |
| 100 | en général 42 à 58 pour cent |
| 1 000 | en général 47 à 53 pour cent |
| 10 000 | en général 49 à 51 pour cent |
Le schéma est net. Plus d'essais ne rendent pas la pièce plus équilibrée. Ils rendent votre mesure de son équilibre plus précise.
Voici la partie qui surprend. À mesure que vous lancez davantage, la proportion de faces se resserre vers 0,5, et pourtant l'écart brut entre le nombre de faces et le nombre de piles a tendance à grandir, pas à diminuer.
Sur 100 lancers, un écart de 10 (55 faces contre 45 piles) est un déséquilibre de 10 pour cent. Sur 10 000 lancers, un écart de 100 (5 050 contre 4 950) n'est qu'un déséquilibre de 1 pour cent, alors même que l'écart brut est dix fois plus grand. La proportion converge parce que le total croît plus vite que l'écart. L'écart tend à croître comme la racine carrée du nombre de lancers, tandis que le total croît comme le nombre de lancers lui-même.
Voilà pourquoi « ça finira par s'équilibrer » n'est vrai qu'à moitié. Le rapport s'équilibre. Le compte brut, non.
La loi des grands nombres est souvent confondue avec le sophisme du joueur, l'idée qu'une série de faces rend pile plus probable. La loi ne promet rien sur le prochain lancer. Chaque lancer est indépendant et reste à 50/50 quoi qu'il se soit passé avant. La moyenne converge non parce que les séries passées sont corrigées, mais parce qu'elles sont diluées par un réservoir toujours plus grand de lancers futurs.
La loi des grands nombres régit discrètement une grande partie du monde.
Le moyen le plus rapide de croire à la loi est de la voir à l'œuvre. Lancez un grand lot de pièces et suivez la part courante de faces, jetez une poignée de dés et regardez la moyenne se stabiliser près de 3,5, ou faites tourner une roue de nombreuses fois et voyez chaque option approcher sa part équitable. À court terme, les résultats paraissent irréguliers. Donnez-leur du volume et les moyennes rentrent dans le rang.
Essayez → Lancez 100 pièces ou plus et regardez le total courant se rapprocher de 50 pour cent, alors même que l'écart brut entre faces et piles continue de dériver.La loi des grands nombres ne promet pas que la chance s'équilibre. Elle promet que les moyennes deviennent fiables à mesure que les échantillons grandissent. Les résultats individuels restent imprévisibles pour toujours. Ce sont les moyennes, pas les résultats, qui deviennent certaines.