Un guide Super Mega Bowl
Lancez une pièce dix fois. Combien de faces devriez-vous attendre, et à quel point tel ou tel nombre devrait-il vous surprendre ? La loi binomiale répond exactement à cela. C'est la mathématique du comptage des succès sur des essais répétés de type oui ou non, et elle est plus simple que son nom ne le laisse croire.
Vous êtes face à une loi binomiale dès que quatre conditions sont réunies. Vous effectuez un nombre fixe d'essais. Chaque essai n'a que deux issues, que l'on peut appeler succès et échec. Chaque essai a la même probabilité de succès. Et les essais sont indépendants. Les lancers de pièce collent parfaitement : dix lancers, pile ou face, 50 pour cent chacun, sans mémoire entre eux. Beaucoup de cas réels aussi, comme le nombre de pièces défectueuses sur 20 fabriquées, ou le nombre de visiteurs qui cliquent sur un bouton sur 100.
Lancez une pièce dix fois : obtenir exactement cinq faces est le résultat isolé le plus probable, et pourtant cela n'arrive qu'environ 24,6 pour cent du temps. La raison tient au comptage. Il n'y a qu'une seule façon d'obtenir zéro face : que des piles. Mais il existe de très nombreux ordres différents qui produisent cinq faces, si bien que cinq est favorisé simplement parce que plus de chemins y mènent. Les extrêmes sont rares parce que très peu de chemins y conduisent.
| Faces sur 10 lancers | Probabilité |
|---|---|
| 0 ou 10 | environ 0,1 pour cent chacun |
| 3 ou 7 | environ 11,7 pour cent chacun |
| 4 ou 6 | environ 20,5 pour cent chacun |
| 5 | environ 24,6 pour cent |
La probabilité d'obtenir exactement k succès sur n essais, quand chaque succès a une probabilité p, s'écrit :
P(k) = C(n, k) × p^k × (1 - p)^(n - k)
Elle comporte trois morceaux. Le terme du milieu, p puissance k, est la probabilité de vos k succès. Le dernier terme est la probabilité des échecs restants. Le premier terme, C(n, k), est le nombre d'ordres différents donnant k succès, et c'est lui qui rend les valeurs centrales bien plus probables que les extrêmes. Pour une pièce équilibrée, p vaut 0,5, et tout se réduit donc à compter les ordres et à diviser par le total.
Tracez les probabilités et vous obtenez une bosse centrée sur le nombre attendu de succès, qui vaut simplement n fois p. Pour 10 lancers de pièce ce centre est 5, et pour 100 lancers il est 50. À mesure que le nombre d'essais augmente, cette bosse se lisse en la fameuse courbe en cloche, et c'est pourquoi tant de mesures réelles finissent en cloche. La dispersion autour du centre croît comme la racine carrée de n, le même comportement en racine carrée que derrière la loi des grands nombres.
Partout où vous répétez un essai indépendant de type oui ou non et comptez les succès, la loi binomiale est discrètement à l'œuvre.
Construisez la distribution → Lancez 10 pièces encore et encore en notant le nombre de faces. La barre des cinq faces prendra la tête, et la forme se remplira exactement comme prévu.La loi binomiale compte les succès sur un nombre fixe d'essais indépendants de type oui ou non. Les résultats médians sont les plus probables parce que davantage d'ordres y mènent, le centre se situe à n fois p, et l'ensemble se transforme en courbe en cloche à mesure que les essais s'accumulent. Derrière une grande partie des statistiques du quotidien, il n'y a rien de plus exotique que compter des lancers de pièce.