Um guia Super Mega Bowl
Lance uma moeda dez vezes. Quantas caras você deveria esperar, e quão surpreso deveria ficar com qualquer número específico? A distribuição binomial responde exatamente a isso. É a matemática de contar sucessos em tentativas repetidas de sim ou não, e é mais simples do que o nome sugere.
Você está diante de uma distribuição binomial sempre que quatro coisas são verdadeiras. Você faz um número fixo de tentativas. Cada tentativa tem apenas dois resultados, que podemos chamar de sucesso e fracasso. Toda tentativa tem a mesma probabilidade de sucesso. E as tentativas são independentes. Lançamentos de moeda se encaixam perfeitamente: dez lançamentos, cara ou coroa, 50 por cento cada, sem memória entre eles. Muitos casos reais também se encaixam, como quantas de 20 peças fabricadas saem defeituosas, ou quantos de 100 visitantes clicam num botão.
Lance uma moeda dez vezes e obter exatamente cinco caras é o resultado isolado mais provável, mas mesmo assim acontece apenas cerca de 24,6 por cento das vezes. O motivo é a contagem. Só existe uma maneira de obter zero caras: todas coroas. Mas existem muitas ordenações diferentes que produzem cinco caras, então o cinco é favorecido simplesmente porque há mais caminhos até ele. Os extremos são raros porque há pouquíssimas formas de alcançá-los.
| Caras em 10 lançamentos | Chance |
|---|---|
| 0 ou 10 | cerca de 0,1 por cento cada |
| 3 ou 7 | cerca de 11,7 por cento cada |
| 4 ou 6 | cerca de 20,5 por cento cada |
| 5 | cerca de 24,6 por cento |
A chance de obter exatamente k sucessos em n tentativas, quando cada sucesso tem probabilidade p, é:
P(k) = C(n, k) × p^k × (1 - p)^(n - k)
Ela tem três partes. O termo do meio, p elevado a k, é a chance dos seus k sucessos. O último termo é a chance dos fracassos restantes. O primeiro termo, C(n, k), é o número de ordenações diferentes que dão k sucessos, e é o que torna os valores centrais muito mais prováveis do que os extremos. Para uma moeda justa, p é 0.5, então isso se reduz a contar ordenações e dividir pelo total.
Plote as chances e você obtém uma corcova centrada no número esperado de sucessos, que é simplesmente n vezes p. Para 10 lançamentos de moeda esse centro é 5, e para 100 lançamentos é 50. Conforme o número de tentativas cresce, essa corcova se suaviza na conhecida curva em sino, e é por isso que tantas medições reais acabam com formato de sino. A dispersão em torno do centro cresce com a raiz quadrada de n, o mesmo comportamento de raiz quadrada por trás da lei dos grandes números.
Sempre que você repete uma tentativa independente de sim ou não e conta os sucessos, a distribuição binomial está silenciosamente em ação.
Construa a distribuição → Lance 10 moedas repetidamente e anote o número de caras. A barra de cinco caras vai se destacar, e o formato vai se preencher exatamente como previsto.A distribuição binomial conta sucessos ao longo de um número fixo de tentativas independentes de sim ou não. Resultados centrais são os mais prováveis porque mais ordenações levam a eles, o centro fica em n vezes p, e o conjunto todo cresce até virar uma curva em sino conforme as tentativas se acumulam. Por trás de boa parte da estatística cotidiana não há nada mais exótico do que contar lançamentos de moeda.