Um guia Super Mega Bowl
Lance uma moeda dez vezes e você pode obter sete caras. Lance dez mil vezes e você vai parar bem perto da metade. Essa aproximação das probabilidades reais é a lei dos grandes números, uma das ideias mais importantes da probabilidade, e ela explica silenciosamente desde por que cassinos lucram até por que as pesquisas de opinião funcionam.
A lei dos grandes números diz que, à medida que você repete um experimento aleatório independente cada vez mais vezes, a média dos seus resultados se aproxima cada vez mais do valor esperado, a média de longo prazo em torno da qual o processo é construído. Para uma moeda justa, a fração esperada de caras é 0.5. Para um dado justo de seis faces, a rolagem média esperada é 3.5. Qualquer tentativa isolada pode dar qualquer coisa, mas a média corrente de muitas tentativas se assenta perto desse valor esperado.
A palavra-chave é média. A lei é uma afirmação sobre proporções e médias, não sobre resultados individuais. Ela não diz que os resultados vão se equilibrar em algum lançamento específico. Diz que a média de uma longa sequência de lançamentos ficará perto do valor real, e mais perto ainda quanto mais longa for a sequência.
Suponha que você lance uma moeda justa e acompanhe a fração de caras após cada lançamento. No começo, essa fração oscila muito. Após quatro lançamentos você pode estar em 75 por cento de caras. Após vinte, em 40 por cento. Conforme a contagem sobe às centenas e aos milhares, essas oscilações encolhem e a fração se cola aos 50 por cento.
| Número de lançamentos | Fração típica de caras |
|---|---|
| 2 | de 0 a 100 por cento |
| 10 | frequentemente 30 a 70 por cento |
| 100 | geralmente 42 a 58 por cento |
| 1.000 | geralmente 47 a 53 por cento |
| 10.000 | geralmente 49 a 51 por cento |
O padrão é claro. Mais tentativas não deixam a moeda mais justa. Deixam a sua medição dessa justiça mais precisa.
Aqui está a parte que surpreende as pessoas. Conforme você lança mais, a proporção de caras se aperta em direção a 0.5, e ainda assim a diferença bruta entre o número de caras e o de coroas costuma ficar maior, não menor.
Em 100 lançamentos, uma diferença de 10 (55 caras contra 45 coroas) é um desequilíbrio de 10 por cento. Em 10.000 lançamentos, uma diferença de 100 (5.050 contra 4.950) é apenas 1 por cento de desequilíbrio, mesmo que a diferença bruta seja dez vezes maior. A proporção converge porque o total cresce mais rápido do que a diferença. A diferença tende a crescer com a raiz quadrada do número de lançamentos, enquanto o total cresce com o próprio número de lançamentos.
É por isso que «vai se equilibrar» é só meia verdade. A razão se equilibra. A contagem bruta, não.
A lei dos grandes números é frequentemente confundida com a falácia do apostador, a crença de que uma sequência de caras torna coroa mais provável. A lei não promete nada sobre o próximo lançamento. Cada lançamento é independente e continua 50/50, não importa o que veio antes. A média converge não porque as sequências passadas são corrigidas, mas porque são diluídas por um conjunto cada vez maior de lançamentos futuros.
A lei dos grandes números comanda silenciosamente boa parte do mundo.
A maneira mais rápida de acreditar na lei é vê-la acontecer. Lance um lote grande de moedas e acompanhe a fração corrente de caras, role um punhado de dados e veja a média se assentar perto de 3.5, ou gire uma roleta muitas vezes e observe cada opção se aproximar da sua parcela justa. No curto prazo os resultados parecem irregulares. Dê volume a eles e as médias entram na linha.
Experimente → Lance 100 moedas ou mais e veja a contagem corrente se fechar em 50 por cento, mesmo enquanto a diferença bruta entre caras e coroas continua crescendo.A lei dos grandes números não é uma promessa de que a sorte se equilibra. É uma promessa de que as médias se tornam confiáveis conforme as amostras crescem. Os resultados individuais continuam imprevisíveis para sempre. São as médias, não os resultados, que se tornam certas.