← Centro de Aprendizagem de Probabilidade

Valor esperado: por que 10% de chance não é 10% de uma vitória

Um guia Super Mega Bowl

Você tem 10 por cento de chance de ganhar um prêmio. Então você recebe um décimo do prêmio? Claro que não. Ou você ganha tudo ou sai sem nada. Essa distância entre as probabilidades e o que de fato chega às suas mãos é uma das ideias mais úteis da probabilidade, e uma das mais mal interpretadas.

Resultados são inteiros, probabilidades não

A maioria dos eventos aleatórios é tudo ou nada. Você ganha o sorteio ou não. A aposta paga ou não. A moeda dá cara ou coroa. Não existe vitória parcial, nem 10 por cento de um prêmio, nem meia cara. Cada tentativa entrega um resultado inteiro de um pequeno conjunto de possibilidades.

A probabilidade descreve como essas possibilidades se distribuem. Não é um valor que você recebe. Então 10 por cento de chance não te entrega 10 por cento de coisa alguma. Significa que, se a mesma situação se repetisse muitas vezes, você ganharia cerca de uma vez em dez e perderia as outras nove.

O que é de fato o valor esperado

O valor esperado é a ponte entre as probabilidades e os resultados. É o resultado médio que você obteria por tentativa se repetisse a aposta um número enorme de vezes. Você o encontra multiplicando cada resultado pela sua probabilidade e somando as partes.

Digamos que um bilhete ganhe 10 reais com probabilidade 0.10 e nada com probabilidade 0.90. O valor esperado é 0.10 vezes 10 reais mais 0.90 vezes 0 real, ou seja, 1 real. Em qualquer bilhete isolado você recebe 10 reais ou nada. Você nunca recebe exatamente 1 real. Ainda assim, 1 real é o valor honesto do bilhete no longo prazo, e é exatamente o que você deveria comparar com o preço dele.

A média é frequentemente impossível numa única tentativa

Aqui está a parte que confunde as pessoas. O valor esperado é muitas vezes um número que jamais pode ocorrer numa única tentativa.

• Role um dado justo de seis faces e o valor esperado é 3.5, mas você nunca vai tirar 3.5. É a média de 1 a 6, não uma face do dado.
• Um único bilhete de loteria tem valor esperado de alguns centavos, mas paga um prêmio máximo ou nada, nunca alguns centavos.

Valor esperado é uma média de longo prazo, não uma previsão do próximo resultado. Tratá-lo como o que vai acontecer numa única tentativa é o erro central.

Por que a média importa mesmo assim

Se você nunca obtém o valor esperado numa única tentativa, por que se importar com ele? Por causa da lei dos grandes números. Ao longo de muitas tentativas, a média dos seus resultados reais e inteiros converge para o valor esperado. Uma rolagem é imprevisível. Dez mil rolagens dão média quase exatamente 3.5. Valor esperado não é o que acontece uma vez. É aquilo para o que a pilha de resultados tende em média, e essa média se torna confiável conforme a pilha cresce.

Onde ele decide vencedores e perdedores

• Jogos de cassino. Toda aposta tem valor esperado negativo para o jogador, e isso é a vantagem da casa. Você ainda ganha ou perde cada aposta por inteiro, mas a média por aposta é uma pequena perda, e ao longo de uma noite a lei dos grandes números transforma essa média num resultado quase certo. É por isso que a casa ganha se mantiver você jogando. Veja a roleta e o craps para os números.
• Bilhetes de loteria. O valor esperado fica bem abaixo do preço. Isso não torna irracional comprar um por diversão, apenas não lucrativo em média.
• Seguros. Você paga um prêmio com valor esperado negativo para você de propósito, trocando um pequeno custo certo por proteção contra uma perda rara e grande.

Os dois erros a evitar

• Tratar uma probabilidade como pagamento fracionado. 10 por cento de chance não é 10 por cento de prêmio na mão. É um prêmio inteiro uma vez em dez.
• Tratar o valor esperado como garantia. Um valor esperado positivo não promete vitória, e um negativo não promete derrota hoje. Ele diz para que lado os resultados pendem no longo prazo, não o que a próxima tentativa reserva.

Veja você mesmo → Role um dado muitas vezes e acompanhe a média corrente. Cada rolagem é um número inteiro de 1 a 6, e ainda assim a média se arrasta em direção a 3.5, um valor que nenhuma rolagem isolada consegue produzir.

A conclusão

Probabilidades e resultados são duas coisas diferentes. Qualquer tentativa isolada é tudo ou nada, uma vitória inteira ou uma derrota inteira. O valor esperado é a média de longo prazo em que esses resultados inteiros se acomodam, muitas vezes um número que você nunca consegue numa única tentativa. Use-o para julgar se vale a pena fazer uma aposta, e nunca o confunda com o que vai acontecer na próxima vez.