Una guía de Super Mega Bowl
Lanza una moneda diez veces y puedes sacar siete caras. Lánzala diez mil veces y acabarás muy cerca de la mitad. Ese acercamiento a las probabilidades reales es la ley de los grandes números, una de las ideas más importantes de la probabilidad, y explica en silencio desde por qué ganan los casinos hasta por qué funcionan las encuestas.
La ley de los grandes números dice que, a medida que repites un experimento aleatorio independiente más y más veces, la media de tus resultados se acerca cada vez más al valor esperado, la media a largo plazo en torno a la cual está construido el proceso. Para una moneda justa, la proporción esperada de caras es 0.5. Para un dado justo de seis caras, la tirada media esperada es 3.5. Cualquier prueba individual puede caer donde sea, pero la media acumulada de muchas pruebas se asienta cerca de ese valor esperado.
La palabra clave es media. La ley es una afirmación sobre proporciones y promedios, no sobre resultados individuales. No dice que los resultados vayan a equilibrarse en ningún lanzamiento concreto. Dice que la media de una tanda larga de lanzamientos estará cerca del valor real, y más cerca cuanto más larga sea la tanda.
Supón que lanzas una moneda justa y sigues la proporción de caras tras cada lanzamiento. Al principio la proporción oscila muchísimo. Tras cuatro lanzamientos puedes estar en el 75 por ciento de caras. Tras veinte, en el 40 por ciento. A medida que el recuento sube a cientos y miles, esas oscilaciones se reducen y la proporción se pega al 50 por ciento.
| Número de lanzamientos | Proporción típica de caras |
|---|---|
| 2 | de 0 a 100 por ciento |
| 10 | a menudo del 30 al 70 por ciento |
| 100 | normalmente del 42 al 58 por ciento |
| 1.000 | normalmente del 47 al 53 por ciento |
| 10.000 | normalmente del 49 al 51 por ciento |
El patrón está claro. Más pruebas no hacen que la moneda sea más justa. Hacen que tu medición de su justicia sea más precisa.
Aquí está la parte que sorprende a la gente. A medida que lanzas más, la proporción de caras se ajusta hacia 0.5, y sin embargo la diferencia bruta entre el número de caras y el de cruces suele hacerse mayor, no menor.
En 100 lanzamientos, una diferencia de 10 (55 caras frente a 45 cruces) es un desequilibrio del 10 por ciento. En 10.000 lanzamientos, una diferencia de 100 (5.050 frente a 4.950) es solo un desequilibrio del 1 por ciento, aunque la diferencia bruta sea diez veces mayor. La proporción converge porque el total crece más deprisa que la diferencia. La diferencia tiende a crecer con la raíz cuadrada del número de lanzamientos, mientras que el total crece con el número de lanzamientos en sí.
Por eso «acabará equilibrándose» solo es media verdad. La proporción se equilibra. El recuento bruto, no.
La ley de los grandes números se confunde a menudo con la falacia del jugador, la creencia de que una racha de caras hace más probable la cruz. La ley no promete nada sobre el siguiente lanzamiento. Cada lanzamiento es independiente y sigue siendo 50/50 pase lo que pase antes. La media converge no porque las rachas pasadas se corrijan, sino porque quedan diluidas por un conjunto cada vez mayor de lanzamientos futuros.
La ley de los grandes números gobierna en silencio buena parte del mundo.
La forma más rápida de creer en la ley es verla ocurrir. Lanza un lote grande de monedas y sigue la proporción acumulada de caras, tira un puñado de dados y observa cómo la media se asienta cerca de 3.5, o gira una ruleta muchas veces y verás cómo cada opción se acerca a su parte justa. A corto plazo los resultados parecen desiguales. Dales volumen y las medias se ponen en fila.
Pruébalo → Lanza 100 monedas o más y observa cómo el recuento acumulado se acerca al 50 por ciento, incluso mientras la diferencia bruta entre caras y cruces sigue creciendo.La ley de los grandes números no promete que la suerte se equilibre. Promete que las medias se vuelven fiables a medida que crecen las muestras. Los resultados individuales siguen siendo impredecibles para siempre. Son las medias, no los resultados, las que se vuelven ciertas.