Una guía de Super Mega Bowl
Tienes un 10 por ciento de probabilidad de ganar un premio. ¿Significa que te llevas una décima parte del premio? Por supuesto que no. O ganas el premio entero o te vas con las manos vacías. Esa distancia entre las probabilidades y lo que de verdad acaba en tus manos es una de las ideas más útiles de la probabilidad, y una de las peor interpretadas.
La mayoría de los sucesos aleatorios son de todo o nada. Ganas el sorteo o no. La apuesta paga o no paga. La moneda sale cara o cruz. No hay victorias parciales, ni un 10 por ciento de un premio, ni media cara. Cada prueba entrega un resultado entero de entre un pequeño conjunto de posibilidades.
La probabilidad describe cómo se reparten esas posibilidades. No es una cantidad que recibas. Así que un 10 por ciento de probabilidad no te entrega el 10 por ciento de nada. Significa que, si la misma situación se repitiera muchas veces, ganarías aproximadamente una de cada diez y perderías las otras nueve.
El valor esperado es el puente entre las probabilidades y los resultados. Es el resultado medio que obtendrías por prueba si repitieras la apuesta un número enorme de veces. Se calcula multiplicando cada resultado por su probabilidad y sumando las partes.
Supón que un boleto gana 10 euros con probabilidad 0.10 y no gana nada con probabilidad 0.90. El valor esperado es 0.10 por 10 euros más 0.90 por 0 euros, es decir, 1 euro. En cualquier boleto concreto obtienes 10 euros o nada. Nunca obtienes exactamente 1 euro. Y sin embargo, 1 euro es el valor honesto del boleto a largo plazo, y es justo lo que deberías comparar con su precio.
Aquí está la parte que confunde a la gente. El valor esperado es con frecuencia un número que nunca puede darse en un solo intento.
El valor esperado es una media a largo plazo, no una predicción del siguiente resultado. Tratarlo como lo que ocurrirá en un solo intento es el error de fondo.
Si nunca obtienes el valor esperado en una sola prueba, ¿por qué te debería importar? Por la ley de los grandes números. A lo largo de muchas pruebas, la media de tus resultados reales y enteros converge hacia el valor esperado. Una tirada es impredecible. Diez mil tiradas promedian casi exactamente 3.5. El valor esperado no es lo que pasa una vez. Es aquello a lo que promedia el montón de resultados, y esa media se vuelve fiable a medida que el montón crece.
Las probabilidades y los resultados son dos cosas distintas. Cualquier prueba concreta es de todo o nada, una victoria entera o una derrota entera. El valor esperado es la media a largo plazo en la que se asientan esos resultados enteros, a menudo un número que nunca podrás obtener en un solo intento. Úsalo para juzgar si merece la pena una apuesta, y no lo confundas nunca con lo que va a pasar la próxima vez.