Una guía de Super Mega Bowl
Lanza una moneda diez veces. ¿Cuántas caras deberías esperar, y cuánto debería sorprenderte cualquier cifra concreta? La distribución binomial responde exactamente a eso. Son las matemáticas de contar éxitos en pruebas repetidas de sí o no, y es más simple de lo que sugiere su nombre.
Estás ante una distribución binomial siempre que se cumplen cuatro cosas. Realizas un número fijo de pruebas. Cada prueba tiene solo dos resultados, que podemos llamar éxito y fracaso. Todas las pruebas tienen la misma probabilidad de éxito. Y las pruebas son independientes. Los lanzamientos de moneda encajan a la perfección: diez lanzamientos, cara o cruz, 50 por ciento cada uno, sin memoria entre ellos. También encajan muchos casos reales, como cuántas de 20 piezas fabricadas salen defectuosas, o cuántos de 100 visitantes hacen clic en un botón.
Lanza una moneda diez veces y sacar exactamente cinco caras es el resultado individual más probable, pero aun así ocurre solo alrededor del 24.6 por ciento de las veces. La razón es el conteo. Solo hay una forma de sacar cero caras: todas cruces. Pero hay muchas ordenaciones distintas que producen cinco caras, así que el cinco sale favorecido simplemente porque hay más caminos que llevan a él. Los extremos son raros porque hay muy pocas formas de alcanzarlos.
| Caras en 10 lanzamientos | Probabilidad |
|---|---|
| 0 o 10 | alrededor del 0.1 por ciento cada uno |
| 3 o 7 | alrededor del 11.7 por ciento cada uno |
| 4 o 6 | alrededor del 20.5 por ciento cada uno |
| 5 | alrededor del 24.6 por ciento |
La probabilidad de obtener exactamente k éxitos en n pruebas, cuando cada éxito tiene probabilidad p, es:
P(k) = C(n, k) × p^k × (1 - p)^(n - k)
Tiene tres piezas. El término central, p elevado a k, es la probabilidad de tus k éxitos. El último término es la probabilidad de los fracasos restantes. El primer término, C(n, k), es el número de ordenaciones distintas que dan k éxitos, y es lo que hace que los valores intermedios sean mucho más probables que los extremos. Para una moneda justa p es 0.5, así que esto se reduce a contar ordenaciones y dividir por el total.
Dibuja las probabilidades y obtendrás una joroba centrada en el número esperado de éxitos, que es simplemente n por p. Para 10 lanzamientos de moneda ese centro es 5, y para 100 lanzamientos es 50. A medida que crece el número de pruebas, esta joroba se suaviza hasta la conocida campana de Gauss, y por eso tantas mediciones reales acaban con forma de campana. La dispersión en torno al centro crece con la raíz cuadrada de n, el mismo comportamiento de raíz cuadrada que hay detrás de la ley de los grandes números.
Allí donde repitas una prueba independiente de sí o no y cuentes los éxitos, la distribución binomial está trabajando en silencio.
Construye la distribución → Lanza 10 monedas una y otra vez y anota el número de caras. La barra de cinco caras se adelantará, y la forma se irá rellenando exactamente como predice la teoría.La distribución binomial cuenta éxitos en un número fijo de pruebas independientes de sí o no. Los resultados intermedios son los más probables porque hay más ordenaciones que llevan a ellos, el centro está en n por p, y todo el conjunto crece hasta formar una campana a medida que se acumulan las pruebas. Detrás de buena parte de la estadística cotidiana no hay nada más exótico que contar lanzamientos de moneda.